定义

存在原函数

如果函数f(x)在区间Ⅰ上连续，那么在区间Ⅰ上存在可导函数F(x)，使得对任一x ∈Ⅰ都有F'(x)= f(x)，即连续函数一定有原函数。

可积

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，那么就说f(x)在[a,b]上可积.

差别

可以从定义看到，存在原函数是导数的性质，定积分存在是定积分的性质。

但是这类题目一出我就头蒙，不知道从何下手，关键在于满足什么条件能推出原函数或可积（一般题目也是这样考察的）

存在原函数条件

• 连续函数必存在原函数（不论开闭区间）
• 对于含有第一类间断点、无穷间断点的函数在包含该间断点的区间内必无原函数
• 对于含有振荡间断点的函数在包含该间断点的区间内可能有原函数;

可积条件

• 设f(x)在区间[a,b]（闭区间）上连续，则f(x)在[a,b]上可积
• f(x)在[a,b]上有有限个第一类间断点，则f(x)可积
• f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点（什么类型都可以），则f(x)可积。
• 如果f(x)在区间[a,b]上无界，则f(x)在[a,b]上必不可积.

点2很有意思，可积竟然允许存在第一类间断点？实际上再看一遍可积的定义，只要区间上积分存在即可积，那么第一类间断点并不影响定积分（即面积）

小总结

• 原函数看有无第一类间断点
• 可积看是否有界，是否有限个第一类间断点

关于可积和原函数之前的联系

可积和原函数之间的联系经常用变上限积分函数结合考察，因为观察变上限函数的形式本质上也是定积分只不过上限是x，而且若f(x)连续，则F(x)还一定是f(x)的一个原函数。

但之前我有一个疑问就是我写出这个形式：

那他不肯定是f(x)的一个原函数吗？

这是很容易犯的错误，其实F(x)是f(x)的原函数要看F的导数是否等于f(x)，充分必要条件是：f(x)连续，所以只有说f(x)连续时，才能说F(x)是f(x)的一个原函数

且只有当f(x)可积，F才连续！！！！

例题

好题

好题

做上题目时，先看下图中的理论。②说的是压根不可积，所以N-L形式压根不能出现。③④可以通过求极限发现有界，且有有限个间断点，说明可积。但拿③来说你写出N-L形式说明你认定了在（0，π）区间上的原函数就是它（有√2那坨），然而很明显π/2是可去间断点，在（0，π）区间上必然不存在原函数。正确的应该是在（0，π/2）和（π/2，π）上分别用N-L（原函数仍然是那一坨）。